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题主数理基础很差，如有不对务必指正
NS方程分为两个部分，分别为continuity equation连续性方程以及momentum equation动量方程。
Continuity Equation \nabla.\bar{v}=0 [1]
Momentum Equation \rho\frac{D\bar{v}}{Dt}=-\nabla P+\mu \nabla ^2\bar{v}+\bar{f}
推导前先state一下前置条件：不可压缩的粘性流体
先从连续性方程开始。首先我们要定义Nabla operator，即
\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z} [2]
\nabla .\bar{e}=\frac{\partial e_{x}}{\partial x}+\frac{\partial e_{y}}{\partial y}+\frac{\partial e_{z}}{\partial z} [3]
以及Material Derivative物质导数，对于一个多变量函数的求导。此处以流体中任意函数 {f}(x,y,z,t) 为例
\frac{Df}{Dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}=(\bar{v}.\nabla)f
若f为矢量，即 \bar{f}(x,y,z,t) ,则为 \frac{D\bar{f}}{Dt}=\frac{\partial \bar f}{\partial t}+\frac{\partial {f_{x}}}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial f_{z}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial \bar{f}}{\partial t}+(\bar{v}.\nabla) .\bar{f}
我们还需要用到Vector Calculus中的Gauss's law。即 \iiint_{V}^{}\nabla.\bar{v}dV=\iint_{A}^{}\bar{v}.d\bar{A} ，以下为我的推导过程
\iiint_{V}^{}\nabla.\bar{v}dV=\iiint_{V}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}dV
=\iiint_{V}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}dxdydz=\iiint_{V}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dxdydz+\iiint_{V}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}dxdydz+\iiint_{V}\frac{\partial v_{z}}{\partial z}dxdydz
=\iint_{}^{}v_{x}dydz+\iint_{}^{}v_{y}dxdz+\iint_{}^{}v_{z}dxdy
=\iint_{A}^{}\bar{v}.d\bar{A} ,此处 \bar{A} 为定义的面积矢量 \bar{A}=（dydz,dxdz,dxdy) [4]
接下来可以开始推导了，设一个闭合曲面内的流体，密度变化率为 \frac{\partial \rho}{\partial t} ，曲面内质量变化为 \dot M=\iiint_{V}^{}\frac{\partial \rho}{\partial t}dV
我也不知道为啥这图会这么大，还有我的画功真的很烂
如上图所示，每一位元面积上质量的外通量为 \bar{v}.d\bar{A} , 显然整个曲面的外通量为 \iint_{A}^{}\bar{v}.d\bar{A}
所以有 \iiint_{V}^{}\frac{\partial \rho}{\partial t}dV+\iint_{A}^{}\bar{v}.d\bar{A}=0
根据Gauss's散度定理可得 \iiint_{V}^{}\frac{\partial \rho}{\partial t}dV+\iiint_{V}^{}\nabla.\bar{v}dV=0
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla.\bar{v}=0 ,对于不可压缩流体 \frac{\partial \rho}{\partial t}=0
所以 \nabla.\bar{v}=0
接下来开始推Momentum equation.
首先我们需要考虑流体中一个尺度上足够小的流体微团。它受到的力有压强带来的，也有粘性带来的切应力，以及流体系统外的外力。(此外其尺度也足够大，内部的分子数具有统计意义以及表面积足够大以讨论压强）
要计算压强力，我们需要对这个流体微团做一下受力分析.
如上图所示，微团在三个方向上都受到压强.
我们以x方向为例， {F_{x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}P(x,y,z)dydz-P(x+\Delta x,y,z)dydz
=\frac{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}P(x,y,z)dxdydz-P(x+\Delta x,y,z)dxdydz}{dx} = -\frac{\partial P}{\partial x}dxdydz
=-\frac{\partial P}{\partial x}dV
Generalize到3维所以 \bar{F}==-\frac{\partial P}{\partial x}dV-\frac{\partial P}{\partial y}dV-\frac{\partial P}{\partial z}dV=-\nabla PdV
每单位体积的受力则为 -\nabla P
我们还需要定义一下粘性
未完待续。。。
参考
- ^因为我找不到箭头此处速度矢量用横杠代替
- ^f为标量函数
- ^e为矢量函数
- ^面积矢量的方向为面的法向
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发表于 2022-9-22 01:24:00